Montrer que $$\forall n\in{\Bbb N}^*,(\cos\theta+i\sin\theta)^n=\cos(n\theta)+i\sin(n\theta)$$ (théorème de Moivre)

Initialisation avec \(n=1\)
On procède par récurrence.
Initialisation : pour \(n=1\), on a bien : $$(\cos\theta+i\sin\theta)^1=\cos(1\theta)+i\sin(1\theta)$$

Hérédité en multipliant les deux côtés par \((\cos\theta+i\sin\theta)\) et avec les formules de \(\cos(a+b)\) et \(\sin(a+b)\)

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Hérédité : montrons que $$\begin{align}&(\cos\theta+i\sin\theta)^n=\cos(n\theta)+i\sin(n\theta)\\ \implies&(\cos\theta+i\sin\theta)^{n+1}=\cos(\theta(n+1))+i\sin(\theta(n+1))\end{align}$$
Par hypothèse de récurrence, on a : $$\begin{align}&(\cos\theta+i\sin\theta)^n=\cos(n\theta)+i\sin(n\theta)\\ \implies&(\cos\theta+i\sin\theta)^n\times(\cos\theta+i\sin\theta)=(\cos(n\theta)+i\sin(n\theta))\times(\cos\theta+i\sin\theta)\\ \implies&(\cos\theta+i\sin\theta)^{n+1}=\cos(n\theta)\cos\theta+i\sin(n\theta)\cos\theta+i\cos(n\theta)\sin\theta-\sin\theta\sin(n\theta)\\ \implies&(\cos\theta+i\sin\theta)^{n+1}=\cos(n\theta)\cos\theta-\sin(n\theta)\sin\theta+i(\sin(n\theta)\cos\theta+\cos(n\theta)\sin\theta)\\ \implies&(\cos\theta+i\sin\theta)^{n+1}=\cos(n\theta+\theta)+i\sin(n\theta+\theta)\\ \implies&(\cos\theta+i\sin\theta)^{n+1}=\cos((n+1)\theta)+i\sin((n+1)\theta)\end{align}$$

(Raisonnement par récurrence, Formule de l'angle double)